textfield_bot-01.jpg
textfield_top-01.jpg
webRussells_paradox-01.jpg

Russells paradox kan beskrivas som ett dilemma mellan kategorier.

Historien i börjar på 1900-talet när matematikern Gottloeb Frege strävade efter att ena all matematik genom vad som nu kallas settheory. På svenska känner vi till det som
mängdteori. Vilket är oerhört viktigt. Eftersom det sätter grunden för hur vi kan förstå nummer i mängder av set—mycket fundamentalt med andra ord. Taget att en avgörande stor mängd av matematiska satser förutsätter att ett teorem om nummer stämmer. En annan mycket känd dåtida matematiker Friedrich Hilbert utmanade detta teorem. Allting tycktes ändå stämma överens ganska väl. Ända till den berömda filosofen och matematikern Bertrand Russell, år 1901, totalt fördärvade hela den här harmonin de skapat mellan aritmetik och nummer. Det följer endast med denna fråga:

 

"Have you considered the set of all sets that is not a member of its self?"

 

Frågan leder oavbrutet till en paradox som kom att bli så berömd att döptes efter Russell själv. Vilket kan enklast beskrivas med bilden bifogad. Eller mer känt som dilemmat i barberarens paradox.

Tänk dej en by där en lokal lag gäller att alla män måste vara ständigt renrakade. Alla som inte rakar sej själva rakas av den lokala barberaren i byn. Men vem rakar barberaren? Det låter antagligen som ett väldigt banalt problem. Men för en logiker är det rena mardrömmen. Därför teoremet innehåller inget definitivt svar utifrån sina egna propositioner. Det kräver en ny utomstående proposition som svar på frågan. Gottlob Frege och Friedrich Hillbert totalt rasade över denna paradoxen. De vägrade tro på att matematik i verkligheten inte kan innefatta ett eget definitivt svar!

 

- - -


Många försök gjorde som skulle kunna bortförklara barberarens paradox. Men endast dessa i sej bevisade bara om igen hur obestämt svaret måste sluta. Några exempel på obestämda propositioner följer:

1. Barberaren är kvinna, så hon behövs inte rakas. Det fallerar eftersom det existerar ingen proposition i teoremet som definierar barberaren som varken man eller kvinna.
2. Barberaren tillåts att ha skägg. Vilket fallerar eftersom det också fodrar en förändring i propositionen om att alla män måste vara renrakade.
3. Svaret är obestämt. Vilket så klart inte kunde accepteras...
 

Det är svårt att tänka sej varför detta kommer upp som ett stort problem. Men man ska ha i åtanke dessa personer inte lever i den tiden vi har idag. De kommer från en lång intellektuell tradition sen långt tillbaks där man arbetat ut ett synsätt på verkligheten som baseras på reduktionism. Det vill säga Frege och Hilbert förde sej med den förutfattade sanningen allt går att förstå om man bryter det i dess beståndsdelar. Vad som hände här var nu ett historiskt moment, där de i ren abstraktion upptäckte att det nödvändigtvis inte måste stämma.
 

- - -


År 1931 förändrades dock allt när den unge österrikiska matematikern Kurt Gödel kom och hävdade han kunde bevisa alla teorem med innestående propositioner aldrig kan förklaras. Han menade att de mycket väl kan vara sanna. Bara att det inte går att veta med endast teoremet i sej självt! Där av bevisade Gödel varje gång man sätter två mängder mot varandra så uppstår det automatiskt en ny uppsättning utav resultaten från dessa. Var av den nya mängden måste ställas mot ytterligare en ny uppsättning för att finna en ny förklaring... också vidare. Inget teorem är fullständigt i sej självt.
Där av fick det heta Gödels ofullständighetssatser.

Svaret med barberarens paradox kvarstår alltså som obestämt. Det går inte att förstå resultatet utav två innestående axiomer utan att man bestämmer en ny utomstående. Det vill säga som till exempel lösningen 1 till 2 med barberaren, men inte 3.

- - - - -

 

Klicka på den understrukna länken för att komma till huvudsidan.
PARADOXER