textfield_top-01.jpg
textfield_midLong-02.jpg
textfield_bot-01.jpg
Zenons_paradoxer-01.jpg

Zenons paradoxer har genom tiderna inte bara intresserat matematiker, men också fysiker och filosofer. Problemet handlar inte så mycket om ett specifikt dilemma som en hel kategori med paradoxer. Det kan lättast beskrivas som konflikter mellan uppdelning av kontinuerliga ting som tid, rum och rörelse i ett oändligt antal delar. Summan av dessa bildar det grekerna kallar aporia (ἀπορία). En typ av obeslutsamhet, vars komplexitet i problematiken ej går att lösa.
 

- - -


Zenon från Elea vet man mycket lite om. Nästa allt som beskrivs om honom skildras i andra hand från Platons skrivna verk. Efter vad som står skrivet sökte Zenon att försvara Parmenides tes om att matematisk pluralism inte stämmer. Alltså ståndpunkten det finns mer än endast en sorts logik som stämmer samman med helheten. Självklart går det att lösa Zenons paradoxer, men endast genom olika mallar beroende på hur verkligheten presenteras. Det existerar alltså inget enat matematiskt ramverk för hur dessa problem kan förklaras. Vilket tar mig till själva kärnan till varför jag personligen har ett större problem med matematik som en abstrakt problemlösningsmetod. Nämligen att helheten omöjligt går att förstå teoretiskt. Man tvingas alltså nyttja en typ av matematik för att lösa det ena problemet, liksom en annan typ av logik till ett annat. I praktiken är det här inget problem om man är villig att byta ett abstrakt verktyg till ett annat. I teorin presenterar det dock en enorm svårighet! Det faktum att ingen matematik (i sin helhet) kan rättfärdiga sig självt. Endast genom att godtyckligt byta "strategi" eller om man ska kalla det "infallsvinkel" klarar vi av att lösa alla matematiska problem. Låt mig demonstrera detta genom den enklaste versionen förklarat via tudelning.

 

Tudelningsparadoxen


Tänk dig att du ska förflytta dig från punk A till punkt B. För att komma dit måste du först passera mitten mellan dessa punkter. Denna punkten kallar vi för C. Vidare för att du ska ta dig från punkt C till B, så måste du även passera mitten mellan dessa positioner. Denna punkten kallar vi för D... Resonemanget fortsätter så i en evighet utan att det går och beräkna du når fram till B.
   I verkligheten förstår på bara intuition denna sorts logik är rent nonsens.

 

- - -


 

Akilles och sköldpaddan


Den vanligaste och mest populära versionen av samma paradox kallas för Akilles och sköldpaddan. Även känd som haren och sköldpaddan. Principen är den samma som i tudelningsparadoxen. Fast man tänker sig ett lopp mellan Akilles, som är grekernas snabbaste man, mot en sköldpadda. För att göra det mer rättvist så startar sköldpaddan med halva sträckan redan avklarad. Eftersom den är mycket långsammare än Akilles. Problemet kommer sedan när man ska räkna ut vart Akilles kommer ifatt sköldpaddan. Det börjar med att Akilles springer den första hälften av sträckan. Men under den tiden hinner sköldpaddan ta sig fram bara en bråkdel av den resterande hälften. När Akilles når fram till den delen av sträckan, hinner sköldpaddan ytterligare fram en bråkdel av den förra bråkdelen som den tog sig fram...

Det hela fortsätter så i en oändlighet. På detta vis vet ingen hur någon av dem någonsin kommer fram. De endast fortsätter att bryta ner bråkdelar av bråkdelar i en evighet. Ingen i det antika Grekland lyckades utveckla en fungerande matematik som löste det på ett annat sätt. Omkring mitten av 400-talet före Kristus.

Detta är ju så klart total galenskap. Men vad är det som händer i verkligheten där man förstår att Akilles med mycket högre hastighet passerar sköldpaddan? Hur kan det vara så en oändlig process upphör?

Detta är själva kärnan i paradoxen. En oändlig process kan per definition aldrig avslutas.

 

- - -


Den flygande pilen


Fungerar i princip som de två tidigare paradoxerna. Fast man vänder det baklänges från Akilles och sköldpaddan. Istället för att mäta avståndet som pilen flyttar sig per given enhet, så fokuserar man på det resterande avståndet som pilen har kvar tills det når tavlan. Resultatet ledde de antika logikerna till att pilen aldrig startar från bågen och står i själva verket helt still.

 

Den rörliga leden


Argumenterar att rörelser i princip är omöjliga. Taget att kroppar kan ha en odelbar volym, så fodrar det att rymden den upptar också har odelbar volym att för kroppen att förflytta sig i. Men rymd som kan delas i princip en oändlighet gör detta omöjligt. Alltså kan saker inte med odelbar volym förflyttas i oändligt delbar rymd.

 

Kornets paradox


Argumenterar att enheter man mäter sinnesupplevelser inte stämmer. Om du till exempel släpper ett korn med mjöl på golvet så hör du inget alls. Men om du släpper en hel säck med mjöl på golvet så hör du en tydlig duns. Detta som resultat av mängder av småkorn som slår mot varandra. Om ett korn inte ger ifrån sig ett enda ljud. Hur vet du att mängder av samma korn borde ge ifrån sig ett sammanlagt ljud?

Dessa logiska dilemman ledde till en lång tradition inom antik filosofi som började tvivla allt mer på världsliga intryck. Slutsatsen kring dessa paradoxer togs inte lätt på för sin tid. De förklarades som omöjliga att lösa. Därav förstod man att något inte stämde med det dåvarande paradigmet. Idag efter empirins ankomst i den vetenskapliga världen har saker dock fått sig en rejäl vändning. Nu för tiden tenderar vi att tänka precis tvärt om. Istället för att anta den fysiska sinnesvärlden felar när vi inte kan representera den logiskt, så förstår vi logiken alltid går att expandera, tills dess motsvarighet stämmer bättre över med vetenskapliga observationer.

 

- - -


Parmenides grundade den eleatiska skolan där Zenon var av hans lärjunge. De båda förespråkade att sinnena måste ljuga för oss. Och att det finns en oföränderlig verklighet baserat på de abstrakta principer som vi kan studera mer hjälp av matematik. Slutsatsen stärks från de exempel som uppstår från Zenons tankeexempel. Han menar rörelse är en illusion och att verkligheten är statisk. Han motsäger sig all form av förändring. Möjligt en mer radikal form av möjligtvis samma eternism Aristoteles också förespråkade. Även om Aristoteles inte var för att dessa abstrakta principer stod före den sinnesvärldsliga upplevelsen. De gamla grekerna var nämligen väldigt bundna till dessa begrepp kring oändligheter. Absoluter och evighet.

De betraktade dessa begrepp med näst intill vidskeplig förundran. Som om det nästan var något lite spöklikt att verkligheten tycktes ha sådana universella egenskaper. Ett tema som kom att utvecklas från platonism till nyplatonism, essentialism, dualism, realism också vidare.

- - -


 

Universalia & partikulärer


Dessa absoluta oändligheter korresponderar tydligt med Platons kosmologi om universalia. Enligt Platon finns det två tydliga kategorier kosmos tycks operera efter.
   Det första är det som han menar är den äkta, mest sanna verkligheten. Denna verkligheter fungerar utefter konceptuella principer som han kallar idévärlden. En princip kan beskrivas som ett idémässigt koncept vars ontologi strävar efter en helomfattande regel. Likt att en cirkel alltid har lika avstånd från sin yttersta gräns till centrum. Eller att två parallella linjer aldrig korsar varandra. På detta vis beksrivs dessa regler som universella. De kan i princip aldrig brytas utan att konceptet upphör. Det samma gäller språkliga begrepp som; alltid, aldrig, evig, hel, tom, full, slut, total, absolut, allt och inget. Typiska abstraktioner för sådant som är absolut helomfattande i sin kategori.

Motsatsen till dessa universalier kallar man partikulärer. Begrepp om ting som ändliga konkretioner. Som till exempel; en stol särskiljer sig markant från konceptet "stol". Stolen i verkligheten motsvarar på detta vis den konkreta partikulären. I kontrast till den universella idén om stolens äkta varande. Alla ting kan därför härledas till en mer perfekt, evig version från sin existens. Konceptet "sten" förstås som den perfekta idén som föregår alla partikulära stenar man kan finna i den fysiska verkligheten. Det samma gäller även människor och mänskliga egenskaper. Som till exempel Odysseus i hans äventyr framstår som mycket intelligent, slug, fysisk kompetent, attraktiv ledargestalt. En förebild för alla män. En strategier och krigare, vars skicklighet med hantverk och uppfinningsrikedom överträffar vem som helst.


Det är på detta vis som de antika grekerna förtäljer sina idealbilder om hur den typiske mannen bör se ut. Liksom kvinnan, soldaten, bonden, hästen, haren, trädet, också vidare. Ett sätt som tycks lysa igenom hela deras tankesätt om tingens tillvaro.

Minst sagt ett ypperligt främmande sätt att förhålla sig till existensen. Men så glömmer man lätt bort alla dessa ismer och idéer även har en kontinuitet med våra moderna koncept och teorier. Kosmologin då påverkar faktiskt våra teorier om kosmologin idag. Deras myter och historier särskiljer sig endast från våra myter på den punkten att vi inte längre tror på deras. Antaget att moderna myter, från idag, också kommer att förändras och glömmas bort vid ett eller annat tillfälle.

Det fascinerar mig oerhört som intresserad av myter. Det talar så mycket om vad för tid vi lever i. Hur vi resonerar om resonemang och vad för betydelse det har för vår nutida identitet. Världen är i konstant förändring.


Den som lever får veta!

 

- - - - -

 

Klicka på den understrukna länken för att komma till huvudsidan.
PARADOXER